1、哥德巴赫猜想猜想：每个不小于6的偶数，都可表示为两个奇质数之和。
2、考兰兹猜想，也叫3x+1猜想。给定一个正整数初始值n，如果n是偶数，则将其除以2，如果是奇数，就计算3n+1。这样会得到一个新的正整数。照着这样的操作一直进行下去，会得到一个正整数序列。考兰兹猜想说，无论给定怎么样的初始值。这个序列最终会进入4,2,1,4,2,1.这样的循环。
3、勒让德猜想：任意两个相邻完全平方数之间，都存在至少一个质数。即，对任意正整数n，存在质数p，满足n2 5、梅森质数猜想：形如2n-1的正整数中，有无穷多个质数。这个猜想大约在1639年提出，已经经过380多年了。 6、n2+1猜想：存在无穷多个自然数n，使得n2+1是质数。 7、费马数猜想：数列F(n)=2(2n)+1，n=0,1,2,3,4,其中的自然数称为费马数。证明费马数中只有有限多个质数。当n=0,1,2,3,4时，费马数F(n)是质数；1732年欧拉发现F(5)是合数.此后没有再发现其它费马数是质数. 8、奇完美数猜想：是否存在是奇数的完美数。一个正整数是完美数是指，它的所有真因数(非它自身的因数)之和等于它本身的自然数。比如6的真因数是1,2,3而1+2+3正好等于6。 9、完美长方体猜想：是否存在一个完美长方体。完美长方体是指这个长方体的长、宽、高以及其所有的面对角线和体对角线都是正整数。相当于寻找三个正整数a,b,c，使得a2+b2,a2+c2,b2+c2,a2+b2+c2这四个数的平方根都是整数。 10、黎曼假设：该问题提出于1859年，即讨论黎曼ζ函数的零点分布情况.数论中有一些与之等价的命题. 11、欧拉常数是有理数还是无理数？其中的定义是1+1/2+1/3+.+1/n-lnn在n→∞时的极限。 12、对于黎曼ζ函数，当k为正奇数时，ζ(k)是否为超越数。你可以用简单的高数知识证明，k为正偶数时，ζ(k)是关于π的有理系数多项式，所以是超越数。 13、埃尔德什倒数和猜想。如果A是一个正整数的无穷子集，A中所有数的倒数和发散，那么A包含任意长度的等差数列。格林和陶哲轩合作证明了A为质数集合的特殊情况，这个成果帮助后者得到菲尔兹奖。 14、n≥5时，拉姆齐数R(n,n)的值是多少。现在已知的是R(1,1)=1，R(2,2)=2，R(3,3)=6,R(4,4)=18,n≥5的任何一个数都没有结果。哪怕知道R(5,5)是43到48这6个数中的其中一个，也无法把它验证出来。 15、华林问题各种值的确定。对于正整数m,n,如果任何一个正整数都能写成n个非负整数m次方之和，而且n还是满足这个条件的最小的，我们就说g(m)=n。比如四平方和定理：每个正整数均可表示为4个(非负)整数的平方和。而7不能表示为3个整数的平方和，相当于说g(2)=4。对于正整数m,n,如果除了有限个情形外任何一个正整数都能写成n个非负整数m次方之和，而且n还是满足这个条件的最小的，我们就说G(m)=n。现在知道的很少的几种情况是g(2)=4,g(3)=9,g(4)=19,g(5)=37,g(6)=73,G(2)=4,G(4)=16，还没有找到确定所有的g(m),G(m)的一般方法。有个具体的猜想是g(m)=2m+-2，这里方括号表示取整。